NONCONVEX AND ROBUST OPTIMIZATION: NEW THEORETICAL APPROACHES AND APPLICATIONS TO ENERGY MARKET

This thesis falls within the field of optimization. In particular, it deals with equilibrium problems, bilevel programming and robust optimization. The main aim is to overcome certain classic but overly restrictive assumptions, such as the global convexity of values in set-valued maps analysis, perfect competition in the electricity sector, and the exogeneity of uncertainty, while maintaining results of existence, stability, and computational tractability. The first part of the thesis is devoted to the study of weak convexity properties in set-valued analysis. We introduce the notion of Regular Local Convexity for set-valued maps and prove selection and fixed-point theorems that extend classical results in the literature to the nonconvex cases. Some applicative examples are also proposed. A second part of the thesis is dedicated to the study from both a theoretical and an applicative point of view of a bilevel model in which a regulator maximizes social welfare by setting a tax on CO2, anticipating a Nash–Cournot equilibrium in an electricity market with network constraints, thermal generation, renewables, and hydroelectricity with storage. We preliminarily studied the existence of an optimistic solution for the bilevel problem then we analyzed the best methodology to tackle the problem that is by its nature computationally NP-hard. From the applicative point of view, we show how the optimal level of the carbon tax may be higher or lower than the marginal damage depending on the distribution of market power and transmission constraints. Finally, in the last part of the thesis, we propose a robust optimization approach with decision-dependent uncertainty, in which ellipsoidal sets depend on decisions through a ReLU neural network integrated into the model via mixed-integer formulations. Numerical experiments on knapsack and capacity planning problems illustrate the advantages in terms of uncertainty coverage and solution quality compared to traditional approaches. The thesis is structured as follows. Chapter 1 presents the aims and overall motivation of the works on which the thesis is based. Chapter 2 develops the theoretical framework on Regular Local Convexity and the related selection and fixed-point results. Chapter 3 introduces and analyses the bilevel model for optimal CO2 taxation in electricity markets. Chapter 4 presents the robust optimization framework with decision-dependent uncertainty and the numerical experiments on knapsack and capacity planning problems. Finally, Chapter 5 summarizes the main contributions and outlines possible directions for future research.

Questa tesi rientra nel campo dell’ottimizzazione e tratta in particolare problemi di equilibrio, programmazione bilivello e ottimizzazione robusta. L’obiettivo principale è indebolire alcune ipotesi classiche ma al contempo eccessivamente restrittive, come la convessità globale dei valori nell’analisi delle multifunzioni, la concorrenza perfetta nel settore dell’energia elettrica e l’esogeneità dell’incertezza, mantenendo al tempo stesso risultati di esistenza, stabilità e trattabilità computazionale. La prima parte della tesi è incentrata sullo studio di una nuova proprietà di convessità debole nel campo dell’analisi delle multifunzioni. A questo scopo, si introduce la nozione di Convessità Locale Regolare per le multifunzioni e si dimostrano teoremi di selezione e punti fissi nel caso non convesso. Inoltre, si propongono alcuni esempi di applicazioni in ambito economico. La seconda parte della tesi è dedicata allo studio di un modello bilivello applicato al mercato elettrico in presenza di regolamentazione ambientale. In particolare, il modello gerarchico prevede un regolatore del mercato elettrico a livello superiore che massimizza il benessere sociale imponendo una tassa sulle emissioni di CO2. Al livello inferiore, i produttori di energia elettrica competono nel mercato prendendo comne dati le decisioni del regolatore. Il regolatore pertanto prende decisioni anticipando un equilibrio di Nash-Cournot nel mercato elettrico tenendo in considerazione vincoli di rete, generazione termica, energie rinnovabili e energia idroelettrica con accumulo. L’esistenza di una soluzione ottimistica per il problema bilivello viene studiata preliminarmente e, di conseguenza, si analizza quale è la migliore metodologia per risolvere il problema da un punto di vista computazionale, considerando che ricade nella classe di problemi NP-hard. Dal punto di vista applicativo, si analizzano sia un comportamento di concorrenza perfetta del mercato sia una struttura di tipo oligopolistico. Le scelte del regolatore risultano influenzate dalla struttura di mercato, e si rileva come la tassazione ambientale risulti superiore o inferiore al danno ambientale marginale a seconda della distribuzione del potere di mercato e dei vincoli di trasmissione. Infine, nell’ultima parte della tesi, si propone un approccio di ottimizzazione robusta con incertezza dipendente dalle decisioni, in cui gli insiemi di incertezza ellissoidali dipendono dalle decisioni attraverso una rete neurale ReLU integrata nel modello tramite formulazioni di programmazione lineare mista-intera. Gli esperimenti numerici sui problemi di zaino e pianificazione della capacità di impianti rinnovabili nel contesto del mercato elettrico italiano illustrano i vantaggi in termini di copertura dell’incertezza e la qualità della soluzione rispetto agli approcci tradizionali. Per presentare questi contributi, la tesi è strutturata come segue. Il Capitolo 1 presenta gli obiettivi e la motivazione generale dei lavori su cui essa è basata. Il Capitolo 2 sviluppa il quadro teorico sulla convessità locale regolare e i relativi risultati di selezione e punto fisso. Il Capitolo 3 introduce e analizza il modello bilivello per la tassazione ottimale delle emissioni di CO2 nei mercati dell’energia elettrica. Il Capitolo 4 presenta un approccio di ottimizzazione robusta con incertezza dipendente dalla decisione e gli esperimenti numerici sui problemi di pianificazione dello zaino e della capacità. Infine, il Capitolo 5 riassume i principali contributi e delinea le possibili direzioni per la ricerca futura.