Manuale di matematica per l'analisi economica

Scopo del libro Gli studenti di economia hanno bisogno di alcuni importanti strumenti matematici. Questi includono il calcolo differenziale per funzioni di una e più variabili, come pure un’introduzione ai problemi di ottimizzazione, con o senza vincoli. L’algebra lineare viene utilizzata nella teoria economica in vari punti, anche se l’utilizzo più massiccio si ha in econometria. Questi strumenti sono utili, addirittura necessari, non solo per corsi di economia politica, ma anche in molte branche dell’economia applicata, come la finanza pubblica, l’organizzazione industriale e l’economia del lavoro. L’esperienza suggerisce che i docenti delle discipline summenzionate assegnano (quanto meno desidererebbero farlo) agli studenti la lettura di articoli di recente pubblicazione. Tuttavia, essi trovano la preparazione matematica degli studenti inadeguata addirittura per alcuni dei lavori della letteratura “applicata” meno tecnica. Gli studenti che abbiano superato positivamente corsi di micro e macroeconomia a livello intermedio molto spesso non hanno visto l’uso, più o meno esteso, del calcolo differenziale nell’analisi economica. Inoltre, la conoscenza del calcolo differenziale da parte di molti studenti può essere molto spesso limitata allo studio di funzioni di una sola variabile, senza pensare poi al fatto che gli stessi raramente hanno visto applicazioni del calcolo differenziale a problemi economici. Lo scopo di Manuale di matematica per l’analisi economica è, pertanto, aiutare gli studenti ad acquisire le abilità matematiche di cui hanno bisogno per riuscire a leggere quanto meno la letteratura economica meno tecnica. Come suggerito dal titolo, questo è un libro di matematica dove le spiegazioni sono organizzate per consentire un apprendimento progressivo dei concetti matematici. Se lo studente acquisisce intuizioni e senso economici allo stesso tempo, niente di meglio è desiderabile. A volte, enfatizziamo l’aspetto economico non solo per dare senso ad un concetto matematico, ma anche per aiutare ad acquisire intuizione matematica. Ovviamente, la comprensione delle nostre discussioni di carattere economico risulterà più spedita in presenza di una, seppure rudimentale, comprensione dell’economia e di cosa essa dovrebbe occuparsi. E’ possibile, tuttavia, seguire il ragionamento anche prima di aver frequentato un corso introduttivo di economia. In particolare, questo non è un libro di economia, e tanto meno di economia matematica. Ci attendiamo che gli studenti apprendano la teoria economica sistematicamente in altri corsi e sulla base di altri libri. Saremo riusciti nel nostro intento se gli studenti potranno concentrarsi sugli aspetti puramente economici in quei corsi, essendo già a conoscenza degli strumenti matematici rilevanti per aver letto, e capito, quanto presentato in questo libro. Caratteristiche specifiche del libro Questo non è certamente il primo libro di testo scritto con gli scopi precedentemente indicati. Tuttavia, crediamo che esso benefici del modo con cui è stato costruito. Un autore (Sydsæter) ha una posizione piuttosto rara di professore di Matematica in un Dipartimento di Economia. Egli ha molti anni di esperienza di insegnamento relativamente ad argomenti simili fatto in Norvegia e Zimbabwe. In effetti, la maggior parte del materiale di cui è composto il libro è originariamente apparsa in libri di testo, scritti in norvegese e poi tradotti, largamente utilizzati in tutta la Scandinavia. L’altro autore (Hammond) ha insegnato e fatto ricerca nell’ambito dell’economia teorica su entrambe le sponde dell’Atlantico ed ha una lunga esperienza nel “vedere” i diversi modi con cui gli strumenti matematici sono utilizzati nell’analisi economica. Per diversi anni, egli ha insegnato corsi di matematica per l’economia, principalmente presso il Dipartimento di Economia della Stanford University. Nel corso di questi anni di insegnamento, abbiamo accumulato numerosi esempi svolti, come pure problemi da assegnare agli studenti per loro esercizio (volontario, o forzato). Gran parte di entrambe le tipologie è stata inglobata nel libro. Siamo ben consapevoli che noi stessi abbiamo imparato molto del materiale che intendiamo insegnare in questa sede dai numerosi problemi ed esempi. La maggior parte degli esempi del libro sono formulati come problemi basati sulla teoria che li precede e le risposte vengono fornite immediatamente dopo. Gli studenti sono fortemente invitati a cercare di risolvere gli esempi senza prima guardare le soluzioni che suggeriamo. Tutti i paragrafi del libro si concludono con problemi, spesso piuttosto numerosi. Vi sono anche molti problemi di ripasso alla fine di ogni capitolo. Questo gran numero di problemi è una caratteristica standard nei libri di testo di questo livello ma di argomento prettamente matematico, mentre non sembra che accada per libri di pari livello ma dedicati specificamente alla matematica per l’economia. Le risposte ai problemi con numeri dispari (per i capitoli 1 e 2, le risposte riguardano anche i numeri pari) sono fornite alla fine del libro, talvolta con indicati molti passi intermedi per arrivare alla soluzione. Le risposte non riportate sono disponibili nell’Instructor’s Manual, che i docenti che adottano il libro per i propri corsi possono richiedere presso gli editori. Un’ulteriore caratteristica dei problemi merita di essere discussa. Si tratta della apparentemente eccessiva notazione che appare in alcuni di essi – ad esempio, nel caso di un’espressione come A(n_0^α)(a^b) che potrebbe essere sostituita da una sola costante. Lo scopo di tali problemi è aiutare lo studente ad imparare a vedere se tali sostituzioni siano possibili ed utili. (Spesso, la notazione di questi problemi è presa direttamente dai libri testo standard di economia, o dalle ricerche pubblicate). Argomenti trattati Si noterà che abbiamo incluso molto materiale piuttosto elementare nei primi capitoli. In effetti, l’esperienza suggerisce che è piuttosto difficile iniziare un libro come questo ad un livello che sia veramente troppo elementare. Attualmente, in molte parti del mondo, gli studenti che iniziano gli studi universitari e si specializzano in economia mostrano un’enorme varietà per quanto concerne la loro preparazione e le loro attitudini in matematica. Si va da un livello inferiore, dove la conoscenza si limita all’algebra elementare, fino al livello superiore, dove si arriva alla conoscenza del calcolo differenziale per le funzioni di una variabile. Inoltre, per molti studenti di economia, può darsi che siano passati anni dal loro ultimo corso di matematica. Conseguentemente, dal momento che ci muoviamo in una direzione per cui la matematica diventa sempre più essenziale per gli studi economici, sentiamo il bisogno di fornire la maggior parte di materiale elementare che sia ragionevolmente possibile. Il nostro scopo in questa sede è fornire a coloro che sono deboli in matematica la possibilità di recuperare e perfino di acquisire un po’ di confidenza verso alcuni semplici problemi che essi possono effettivamente risolvere da soli. Nell’Instructor’s Manual, abbiamo incluso per i docenti materiale diagnostico sotto forma di test da poter essere utilizzato per valutare il livello di preparazione della classe all’inizio del corso. Benché il docente vorrà ovviamente adeguare il punto di partenza ed il ritmo alle capacità degli studenti, è forse addirittura più importante che ogni studente stabilisca i propri punti di debolezza e forza e riceva consigli ed aiuti per superare i primi. Pertanto, è auspicabile che gli studenti meno preparati si dedichino anche ai primi capitoli, mentre la classe in generale inizi da un po’ dopo. Il libro rappresenta una versione rivista ed in qualche modo accorciata del precedente libro di testo, Mathematics for Economic Analysis, pubblicato dalla Prentice Hall nel 1995. Esso ha inoltre tratto beneficio dai molti cambiamenti operati per l’edizione speciale del libro di testo originario da utilizzare nello Zimbabwe. Abbiamo omesso il materiale più avanzato, preferendo deferirlo ad un volume successivo dal titolo Further Mathematics for Economic Analysis. Abbiamo inoltre cercato di presentare il materiale rimasto in modo più chiaro ed abbiamo aggiunto numerosi nuovi problemi. Dopo gli argomenti introduttivi di base che occupano i capitoli 1, 2 e 3, i capitoli dal 4 all’8 contengono un trattamento abbastanza elementare del calcolo differenziale nel caso di funzioni di una sola variabile. Seguono il capitolo 9 relativo all’integrazione ed il capitolo 10 di introduzione ai concetti elementari del calcolo finanziario. Ciò può essere un punto di arrivo comune per corsi di livello elementare. Tuttavia, abbiamo già suggerito l’importanza che rivestono per gli economisti il calcolo differenziale in più variabili (capitoli 11 e 12), la teoria dell’ottimizzazione libera e vincolata (capitoli 13 e 14) e l’algebra lineare (capitoli 15 e 16). In qualche modo, i capitoli dall’11 al 16, iniziando con il calcolo differenziale in più variabili, rappresentano il cuore del libro. Gli studenti con una solida preparazione nel calcolo differenziale in una variabile possono probabilmente permettersi di concentrarsi su questi capitoli. Dei primi 10 capitoli, essi potrebbero aver bisogno di studiare alcuni argomenti specifici come l’elasticità e le condizioni per l’ottimizzazione globale che spesso non vengono trattati approfonditamente nell’ambito di corsi standard di calcolo differenziale. L’ordine dei capitoli è, pensiamo, piuttosto logico; ogni capitolo si basa sui precedenti. La principale eccezione riguarda i capitoli 15 e 16 relativi all’algebra lineare, visto che essi possono essere tranquillamente studiati in qualunque momento dopo aver letto i primi tre capitoli. Infatti, nel nostro libro di testo originario, Mathematics for Economic Analysis, l’algebra lineare precedeva il calcolo differenziale in più variabili, suggerendo quindi che il contenuto dei capitoli 15 e 16 potrebbe essere insegnato subito dopo il capitolo 10. Concetti e tecniche importanti Lo studente meno ambizioso può concentrarsi sull’apprendimento dei concetti e delle tecniche chiave di ogni capitolo. Spesso, essi appaiono inquadrettati e/o colorati, al fine di enfatizzarne l’importanza. I problemi sono essenziali nel processo di apprendimento e quelli più facili meritano di essere svolti tutti. Gli studenti più esigenti, o che devono esserlo per via dei loro docenti, possono provare i problemi più difficili. Essi possono inoltre studiare le parti stampate con carattere più piccolo. Quest’ultime spesso forniscono una spiegazione del perché certe tecniche siano appropriate, o forniscono dimostrazioni di certi risultati. Infatti, dove possibile, incoraggiamo gli studenti a chiedersi perché i risultati presentati siano veri e perché i problemi debbano essere affrontati in certi modi; pertanto, abbiamo cercato di fornire le spiegazioni ad un adeguato livello. Ammettiamo che, mentre soltanto una minoranza di studenti ha la necessità di comprendere questo materiale appieno, altri possono essere interessati ad acquisire almeno piccole intuizioni addizionali verso la matematica che stanno studiando e questo è un interesse che pensiamo vada certamente incoraggiato. Un altro motivo per l’inclusione di tali approfondimenti è che il libro di testo possa essere adatto anche per docenti di Dipartimenti di Matematica desiderosi di organizzare corsi specifici, o parti di corsi, per studenti che siano fortemente interessati all’applicazione della matematica all’economia, invece che all’ingegneria o alla fisica. In effetti, al confronto con molti libri di testo di argomento simile utilizzati nei Dipartimenti di Matematica, sembra che il nostro effettivamente fornisca maggiori spiegazioni e dimostrazioni. Gli studenti più capaci, specialmente quelli che intendono iniziare studi economici post lauream, beneficeranno delle ampie spiegazioni di alcuni argomenti che siamo stati in grado di fornire in questo volume. In alcuni casi, tuttavia, ci siamo presi la libertà di fare riferimento al nostro prossimo volume, Further Mathematics for Economic Analysis (normalmente abbreviato con l’acronimo FMEA). In particolare, FMEA offrirà un appropriato trattamento di argomenti come le condizioni del secondo ordine nei problemi di ottimizzazione e la concavità e convessità di funzioni di più variabili – argomenti che pensiamo vadano oltre ciò che è veramente “essenziale” per tutti gli studenti di economia. Ringraziamenti Nel corso degli anni, abbiamo ricevuto aiuto da così tanti colleghi, lettori ed altre istituzioni, come pure dagli studenti, che non è praticamente possibile menzionarli tutti. Naturalmente, tutti i ringraziamenti che abbiamo fatto nel precedente libro sono validi anche in questo. Ci concentriamo qui su coloro che sono stati di particolare aiuto nella preparazione di quest’opera. Arne Strøm, anch’egli del Dipartimento di Economia dell’Università di Oslo, rimane un elemento indispensabile del nostro team. La sua eccezionale abilità nello scoprire gli errori e le inaccuratezze è stata di enorme aiuto. Alcuni paragrafi del capitolo 10 sono basati sul materiale scritto per l’edizione svedese da Håkan Lyckeborg. Per l’organizzazione della produzione e pubblicazione, oltre ai nostri editori dimostratisi sempre molto disponibili, vorremmo ringraziare in particolare Arve Michaelsen della PrePress di Oslo ed il copy editor Jennifer Dunford della Pearson Education per la loro eccezionale diligenza. A tutte le innumerevoli persone ed istituzioni che ci hanno aiutato nel rendere possibile l’idea di questo libro, includendo alcuni i cui commenti sul libro di testo precedente ci sono stati trasmessi dall’editore, vorremmo esprimere il nostro apprezzamento e la nostra gratitudine più profondi, con la speranza che essi possano trovare il prodotto che ne è risultato ragionevolmente soddisfacente e principalmente di beneficio per i loro studenti. Questo, possiamo tutti convenire, è ciò che veramente importa alla fine. Knut Sydsæter e Peter Hammond Oslo e Stanford, giugno 2001